有趣的数学【21】:灵光乍现,干掉那个老是露脸的

人生在世,有时候多多露脸混个脸熟才可能赢得多一些机会,有时候露脸多了又会被人嫌弃,这个是很难把握的一件事。

而在数学题里面,这种选择就容易多了。

一般来说,干掉那个老是露脸的,杀了那个熟悉的陌生人,是解题的捷径。

具体的解题过程往往并不难,难的是解题思路。有时候,你想不到那一点,那么怎么比划都难以解决问题。真正有用的思路一旦涌现,势如破竹。

请看下面这道题:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmQYrSQkMtow4yiry2Xf7jv377rZMhJanUW7uKMVbC7apN)

这里面有3个未知数,但是只有2个方程,按照常理是无法求解的。

但是,仔细观察题面,会发现2个式子里面都有y²。那么,将2式相减,去掉y²,就有了第三个方程。

想到了2式相减,这道题就算做出了80%了。

很多题目就是这样,只要能够找到题眼,想到关键步骤,有了灵光乍现的吉光片羽,答案就呼之欲出了。

具体的解题步骤很简单,请看下面完整的解题步骤:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmYQwSh1yRH3K9uhd5aotrWtsNV6XueaTeiBeNbHWLSjHy)

有趣的数学【20】:好奇害死猫

俗话说,好奇害死猫,Curiosity killed the cat。

很多时候,不是老天让猫死,而是猫咪的好奇心太重,自己作死了自己。

解数学题的时候也一样。

有时候看到题目,不要着急想要知道答案,好奇心太强烈,真的会让自己死的很难看。

请看下面这道题:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmQYyft7EnqsidJXpDeoPrDV3HGL7sBK8FDioHzQr7ZSR1)

对于那些解题机器,看到x来了,就急着想要解出x的值,看看它到底长啥样,好奇心重的不得了。

但是,这道题里面,x的根并不是有理数,解出来以后,还要带入新的多项式去求解,估计整个考试时间,就只能做这一道题了。这时候,我们就需要克制,忍一忍。

忍一忍,忍一忍,再看看规律。

如果我们能够把后面的分式便形成已知方程的形式,一切就都好办了。

话不多说,请看详细的解题过程:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmZ8iGNza8GfGwAe8u6X2eHv8HSyHCCV1vLksaWzG2nftk)

怎么样?这样解题过瘾吧?

这属于整体代入法的一种,我们再看一道过瘾的题目:

![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmWtVeNgMzG3b1s5utdEm3hqr3PFVBuKE9WTPpSsAcQP3J)
同样的,这道题也不能急吼吼地去求解a的值,而应该想办法简化后面的算式。

具体解题过程如下:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmQBwDpZn6DsLK12obJvwGCEnHPHFtJow6mk5M3UeCSMbE)

***
附上解题草稿:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmRYEie2gT2aHFKGoKdmNWj65QS7EebgSkaVWCpYUsoEfW)

有趣的数学【19】:色即是空——用待定系数法解方程

人生麻烦不断,就和数学题一样,总有人出那种千奇百怪的题目来考我们。

很多时候,我们一下子找不到答案,只能先假设待定一些前提,然后抽丝剥茧慢慢来,终会有水落石出的那一天。

我们先看这道题,一个式子,有2个未知数,简直就是对人性的摧残:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmXPLSp8VvoEqrLZmXyBxBaXMua2XbGP322eA6vmroqPSA)

这道题,用待定系数法来求解,会很简单。

待定系数法和配方法其实差不多,针对一个复杂的多项式,比如上面这种,如果我们可以把它简化成(……)² + (……)² + (……)² = 0的这种形式(平方和),就方便多了。

因为x,y都是实数,所以(……)²是大于等于0的,所以上面的括号内的算式就等于0。

不管来什么麻烦,任何妖魔鬼怪,最后都让它们化为虚无,成为0。色即是空,麻烦就被解决了。

我们现在试着把题目中复杂的多项式变形成平方和的形式:
假设x=a,y=b,
则x-a = 0,
y-b = 0;

观察原题多项式,有xy的乘积项,所以配出的平方项一定含有(x+y)部分。而要(x+y+……)²=0,则应该是:
(x+y – (a+b))² = 0

而(x+y – (a+b))²这一项展开后,有x²和y²项,根据和原题,是5x²和2y²,所以还要有4个x²和1个y²。所以,原式就配成了:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmR7zDphinJT5Jsqoup9tmPAf2UnNSwDxHCGFqGBM1j24X)

进一步展开,并且合并同类项,则有:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmTg2vYEY5sJoJnXXGJmghGUbSkYLwCtXZYf35njrZhPkz)

因为都等于0,所以这个式子和原式是相等的,则有:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmY8QwgVjFVzgr5fbiBnEjr3LiNuYsH35aVTqggdnC9bmN)

看到没有,这就是色即是空的魅力,诱惑当前迷人双眼,只有不为所动让其归零,才能让麻烦化为虚无。

附上解题步骤:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmesmphDai1pH9LaHCC5emjb34WBgGhVABr5xA5NbdePKX)

有趣的数学【18】:孙子定理和人工智能

咦?

孙子定理?

当孙子还有定理?

其实,这不是当孙子的定理,看完了你就知道了。


村龙 @ericet延续软抠抠的轨迹,又出了一道有关余数的题目,因为他在[有趣的数学【16】:科班出身和草台班子](https://steemit.com/steempress/@kissfirer/16-xnmg15jip9)那道题里,觉得自己成为了草台班子,很不服气,就出了这道题:

有多少个小于100000的数,除以3余2,除以4余1,除以5余4?

其实,就数学而言,我也是个草台班子。

以我有限的关于数学的认知中,只有陈景润大概不是草台班子,别的大神都不认识,也没听说过,因此在我的世界里也根本就不存在。

陈景润毕业于厦门大学数学系,先是在北京四中任教,后来又回母校厦门大学数学系任助教,再后来调到中国科学院数学研究所,专攻数学,几乎快要摘取了哥德巴赫猜想这颗明珠。

余数这个问题,古人们早有研究。

早在中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:

有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数。

后面详细论述了计算方法,这实际上是求解一次同余式组的方法,是数论中一个重要定理。

这就是有名的中国余数定理,也叫作孙子定理。

原来我还以为是TNND有人吃饱了没事干出道变态题来为难我们,真TMD孙子,所以才叫孙子定理呢~~看来是我误解了。

后来,由孙子定理衍生出很多类似的问题,比如:

  1. 一个数,除以5余1,除以3余2。问这个数最小是多少?
  2. 有1个数,除以7余2.除以8余4,除以9余3,这个数至少是多少?

等等等等,不胜枚举。这些题的答案和解题过程,在参考链接里面都有详细列出,我就不再计算一遍了。

我想说的是:题目是千变万化出不完的,但是最终解题思路是大致相同的,就是离不开这个孙子定理。

值得注意的是:一般这样的衍生题目,都是要求最小的这个数是多少,而村龙出的题目,是求一定范围内有多少个符合条件的数。

 @morningshine有给出解题思路,大家有兴趣的话,可以去看看:[科班出身和草台班子](https://busy.org/@ericet/4s7h30bpbo)的回复。

那么,在我们以解数学题为娱乐的过程中,是否要去想,要去硬解呢?

我看未必。

就像关公耍得一手威力无穷的青龙偃月刀,舞起来虎虎生风气死电扇堪比直升机,但是你丢一只活鸡过去要求他用这把刀放血,可以是可以,就是太没必要了。

就像 @morningshine,虽然知道了思路,但是计算时就给算错了。明明最重要的部分是正确的,偏偏最死板的部分出了错,实在是有点冤枉。

这个时候,人工智能就派上用场了。

现在AI大热,就是为了解放人类的生产力,让人有精力去想去做更复杂更不靠谱的事情,像孙子定理这种事,正是AI的强项,在这方面,人类完全没有必要和机器人一争高下。

这类初级的AI,没有情绪,没有大姨妈和大姨夫,所以一板一眼几乎不会出错,2节电池就能活上好几年,拥有七情六欲的低俗的人们是比不上的。

做人要路见不平一声吼啊该出手时就出手的同时,也要学会路见深坑笑哈哈呀该放手时就放手,和机器人比算数,那真是得不偿失了。

所以,这道题就交给程序去做吧:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmSSDkv4x91XwVVRfyCHjBvoLweSq2EZkKGVSFDt4jS4pi)
因为我是做嵌入式系统编程的,刚好用单片机就把它给实现了,下次做个机器人,就能实现孙子智能啦~~

运行结果如下:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmZgVJMD36hqT3tmY4dauNhtNGYms8CX8YKmtqL2STUSgb)


参考:

[百度百科:孙子定理](https://baike.baidu.com/item/%E5%AD%99%E5%AD%90%E5%AE%9A%E7%90%86/2841597?fr=aladdin)

[百度百科:陈景润](https://baike.baidu.com/item/%E9%99%88%E6%99%AF%E6%B6%A6/18067?fr=aladdin)

有趣的数学【17】:一切都有套路——解方程组法求解析式

解题和做人一样,存在着典型的问题。

一般碰到典型问题,就有对应的典型的解法去求解,这个就是套路。懂得了道路,问题就不再成为问题,而是简单的数字游戏了。

今天讲的这个套路,就是很常用的解方程组法求解析式。在数学解题过程中,若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。

先举例:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmNaYBRgiKfDYtiE5Pyj8RRB2xeCqy519XfnhKDg8WY9HR)
观察题面,发现用我们之前说的换元法,待定系数法在这里都用不上,那么就只能另辟蹊径了。

题目中,包含f(x)和f(-x),所以,将x的位置用-x带入,则有
2f(-x) – f(x) = -x+1
这样就和原方程配成了一个方程组:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmdCw9jhrq1pq95BSKkg6vMxM5G6NcejBK4SgkNDw6tjmX)

再观察这个方程组,可以看到相加可去除f(-x),最后得到结果
f(x) = 1/3x+1
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmQmyXigD6cgjd415wJzGGjFZwHH7Vzyuw4utY4w1uKET2)
这就是解方程组法求解析式。

一般能够使用这个方法的题目有明显的特征,就是解析式里面含有:
f(x)和f(-x),
f(x)和f(1/x)
这2种情况。

前者用-x代替x带入,后者用1/x代替x带入,得到一个新的方程,与原方程式组成一个方程组,然后想办法消除f(-x)或者f(1/x)项,就可以求出f(x)了。
***
这就是典型的套路,是一定要掌握的。

很多逃离北上广的人都说:

“城市套路深,我要回农村”

可是不要忘了:

农村路也滑,人心更复杂。

如果不能掌握套路,到了哪里都是被套的命。要改变的不是环境,而是自己。

***
附上解题草稿:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmVQqykt1H2FgDYXywHw6hGqUZzP2qfJsWVpsUHZkAy9p2)

有趣的数学【16】:科班出身和草台班子

世上的人有很多种,而有些问题答案只有一个。

不同的人,解出同一道题,但是他们所用的方法,可能截然不同。所以,往往只看结果的话,是看不出人和人之间的差别的。

有些人投机取巧,有些人稳扎稳打,可能短时间内取得的结果是一样的,但是,长远来看,稳扎稳打一定比投机取巧走得长远,这就是草台班子和科班出身的区别。

以这道题为例:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmUq158jLfbSZfWCtstXLN8LhCfckEY2DWXn5c4RNWYKnZ)
这道题看似很简单,因为除数和余数都很小,除以3余2,除以4余1的数,心算一下就能得出这个数是:
5

这就是简单的代入法,即可得到一个满足条件的数。而5/12余数是5,所以这道题的正确答案就是
5

但是,5只是满足条件的这个数里面的一个,还有很多个数都满足这个条件。而要得出所有满足条件数的通式,那就需要科班出身的来计算了,绝不是心算一下就可以投机取巧的。

正式的计算结果请看下面的步骤,写的非常清楚,我就不一一解释了。
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmPcKF4yM31pW4fozhF7hmnJVvKTAjj5mdXB4C3Lak5Efg)

如果有疑问,可以在回复中提出。

***
这就是草台班子和科班出身的区别。

他们从外表(单一的答案)上来看是一样的,但是,其中运用的原理,解题的方法却大相径庭,不可同日而语的。

有趣的数学【15】:柳暗花明又一村——用待定系数法来因式分解

前面说过,因式分解是数学中很重要的一种方法。而有的时候,初步分析看不出应该怎样才能进行分解,想破脑袋也没有思路。但是能够猜出多项式作为方程的一个根,那么就可以使用待定系数法来进行因式分解了。

这就叫做“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”。

根据百度百科的解释:

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法。

单纯看文字描述可能过于抽象,我们就从例题入手来分析:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmQhDsx8HsvVZtRbjbLeLG9d7Ah4oPmUVDKWD9ERKHgHcD)

乍一看之下,这道题似乎没有什么思路可以解。但是仔细观察,可以发现如果把这个多项式看成一个方程式的话,即:
x³ -4x² + 2x + 1 = 0
很容易看出,x=1是这个方程的一个根。
所以可以写成
(x-1)(……) = 0的形式。
假设(……)为x²+ax+b,

所以:
原式=(x-1)(x²+ax+b)=x³+(a-1)x²+(b-a)x-b

又因为
原式=x³ -4x² + 2x + 1
所以
x³ -4x² + 2x + 1 = x³+(a-1)x²+(b-a)x-b

所以
a = -3,
b = -1;

所以原式因式分解结果为:
原式=(x-1)(x²-3x-1)

这又是一个因式分解方法的新技巧,今后还会经常用到,很神奇吧?

附上解题草稿:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmXGEDR5dm1cZZyQF15RrJpsnLznjC1D8YnwfzcYS8AKCF)

有趣的数学【14】:莫用战术的勤奋来掩盖战略的懒惰

做数学题,和做人其实是一样的,就是碰到问题时,一定要镇定,要仔细分析,而不要一拿到题就埋头苦做。

埋头苦做的,一定不是最好学生,这样的学生,走上社会以后,也一定不是好的领导者。

因为他们都属于用战术的勤奋掩盖了战略的懒惰的人。他们缺乏大局观,只注重细节和常规解决方案,顶多算一个合格的执行者。

今天,我们看这样一道题,它可以分辨出领导者和执行者。

不过,所有的测试都不可能100%准确,只是帮助决策者参考的手段。

话不多说,请看今天的题目:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmXvBDE5GDr66MmNXpT36N61etCpG4PYxBU87A1fZgyLeT)

常规的方法应该是通分,然后再相加。只要舍得草稿纸和时间,答案肯定能算出来,但这也是最耗时效率最低的方法。

仔细观察题面,我们可以发现,分母是1007,1008,2015,这3个数有规律,至于什么规律,自己体会一下,我们直接看解题过程:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmPYc7CFP9aT2Lzp4rzQTNzErr8qUdHok5kfx6u6vCfdgG)

看到没有,这就是一个善于观察和思考的人所用的方法,绝不会去傻傻的解题,不去做那个平庸的人。

如果你觉得还不过瘾,可以再仔细想想,或者提问,我再让你记忆深刻一下。

有趣的数学【13】:条条道路通罗马

一道数学题,可能有好几种解法。今天就来看看怎么用另一种方法来求解昨天[有趣的数学【12】](https://busy.org/@kissfirer/12-qczy77ymei)的这道题:
![](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmUfD32Tqu9Fce4PvuDvW7NQSK4S3sqyd3xRBJDDVh2qrD)

昨天是利用韦达定理和一元二次方程根的判别式来做的,今天来偷懒一下,纯粹用技术来解决。

由a+b+c = 3,可得:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmWuQmdWDw1Yz8PfoS4Md9kTFL3TXUp13nQmoJM2bkun6m)

又因为a²+b²+c² = 3,所以
a²+b²+c² = ab+bc+ac
再配方,可得:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmdUdt3dZCoJm3JXd7ViWQypTQr5TSjrpTEeT2MU461EfB)

又因为a+b+c = 3,可得:
a=b=c=1

而1的任何次方等于1,所以原式 = 1+1+1 = 3

看,就是这么简单,比昨天简单太多了。

这就是条条道路通罗马。如果各位有兴趣的话,我还有第3条路来解这道题。

***
附部分解题步骤:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmakT2VexZJdRe4CQabBtZ6sxkp6GCTGQRDd4x1MFwYwuH)

有趣的数学【12】:狼狈为奸,沆瀣一气的小伙伴

昨天的帖子[有趣的数学【11】:捧着金饭碗要饭](https://busy.org/@kissfirer/11-rjztkpqsri)讲了利用韦达定理来解题的思路,今天我们继续巩固一下。

韦达定理在解题过程中经常会遇到,基本上,在有3个未知数的题目里面,韦达定理往往就会出现。

而一旦用到韦达定理,一元二次方程根的判别式就会顺理成章地出现。这2个公式,堪称焦不离孟孟不离焦,当然,讨厌它们的人,也可以说它们是狼狈为奸,沆瀣一气。


来看看这道题:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmUfD32Tqu9Fce4PvuDvW7NQSK4S3sqyd3xRBJDDVh2qrD)

因为变量太多,难以直接下手,如果能配出a+b和a×b的形式,就能构建一个一元二次方程,a,b是它的2个根,而c将出现在这个方程的系数上。

说干就干,首先,我们得到:
a+b = 3-c,
这个比较简单,而a×b的形式,就必须利用已知条件平方来获得了:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmVrcm9vgsxQtyxsCJrZdLqzNFqpNMXKZzSM4xQzfncpgC)

根据韦达定理:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmX6wevLiZEmxMKSB753bMx1p5KTWG4Q7uiQ2SxVRpvn5Z)
构建出一元二次方程为:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmcSrXPiHeajYADpAmTN9Fu8Ktux895sTU4ZHJLSJJuP6c)

再根据一元二次方程根的判别式:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmR4X4sAabp7Z1Kbi8VStCMH7dmwiSf5KmPEFYuusSeBHo)
因为a,b是2个实根,所以:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmdJeSyJvfVgA6zLpjkZeBnmswvAg1wKSPwejuaPLFpvPb)

将c=1带入上面的一元二次方程:
![image](https://ipfs.busy.org/ipfs/QmZbkyGmVGARbSzF9GhCYoyK5MNPqqYZ1iXquKqxaBHxHw)

所以a=b=c=1,
原式答案为3。


公式定理往往很枯燥,让人记住了也很难想起来使用它们。

但是,经过今天的讲解,我们记住狼狈为奸这个成语,下次再看到类似的题目,就会想起韦达定理和一元二次方程根的判别式了吧!!

相信我,看我的帖子,能够文理兼修,融会贯通,更上层楼。

各位每天只要来看看,再顺便点个赞,假以时日,哥德巴赫猜想也不在话下~~